From 64dd653c5b5619dc3440b8fe59abfbabfa912e7d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: wangziao <1575538687@qq.com>
Date: Wed, 30 Apr 2025 00:48:14 -0700
Subject: [PATCH] rewrite readme conformal mapping section

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 readme.md | 30 +++++++++++-------------------
 1 file changed, 11 insertions(+), 19 deletions(-)

diff --git a/readme.md b/readme.md
index bba933a..58ba512 100644
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+++ b/readme.md
@@ -23,28 +23,20 @@ Environment: Python 3.11. Do `pip install -r requirements.txt` to get necessary
 
 The scale in and scale out parameters are chosen so that combining the two mapping should give the identity mapping.
 
-## 关于标题“保角变换”
+## 关于二维保角变换
 
-保角变换就是保持变换前后角度不变的变换。
+保角变换 [Conformal Mapping](https://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_map) 可以理解为保持角度不变的映射。[参考这里](https://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_map#In_two_dimensions)，二维平面中，映射保角的充要条件是对应的复变函数在解析（全纯）且导数不为零。如果映射对应的复变函数的共轭是全纯的，那么映射保角度但会让角的"方向"反向。
 
-前面提到、代码中实现的变换是反演变换（[Inversion Transformation](https://en.wikipedia.org/wiki/Inversion_transformation)），和保角变换（[Conformal Mapping](https://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_map)）很类似。
+### exp
+比如，对复变函数 $f(z) = e^z$，由于$f'(z)=e^z$，f 在全平面解析，所以带入 $z=x+iy$ 得到的映射$(x,y)\rightarrow (e^x\cos(y), e^x\sin(y))$ 就是一个保角映射。
 
-具体而言，代码里实现的反演变换
+### log
+又比如复变函数 $f(z) = \log(z)$，解析，对应的映射是 $(x,y)\rightarrow (\log(x^2+y^2),\arctan(\frac{y}{x}))$，也保角。
 
-```
-(x, y) -> ( x/(x*x+y*y), y/(x*x+y*y) )
-```
+### antiholo
+$(x,y)\rightarrow (\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2})$  对应的复变函数是 $f(z)=z/|z|^2=\frac{z}{z\bar{z}}=\frac{1}{|z|}$，可以证明它不解析。然而，它的共轭$\bar{f(z)}=\frac{1}{z}$是解析的，因为导数是 $\frac{d}{dz}(\frac{1}{z}) = -\frac{1}{z^2}$。因此，这是一个反方向的保角映射，即这个变换保持角度不变，但会镜像。
 
-把平面上的点映射到关于单位圆的对称点上：半径变为原来的倒数，角度不变。这个变换保持角度不变（但会镜像）
+它在几何上称为反演变换 [Inversion Transformation](https://en.wikipedia.org/wiki/Inversion_transformation) ，等同于把平面上的点映射到关于单位圆的对称点上：半径变为原来的倒数，角度不变。
 
-### 关于二维保角变换
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-二维平面中，映射保角的充要条件是对应的复变函数在解析（全纯）且导数不为零。如果映射对应的复变函数的共轭是全纯的，那么映射保角度但会让角的“方向”反向。
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-比如，对复变函数 $f(z) = e^z$，由于$f'(z)=e^z$，f 在全平面解析，所以带入 $z=x+iy$ 得到的映射$(x,y)\rightarrow (e^x\cos(y), e^x\sin(y))$ 就是一个保角映射。(选项 exp)
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-又比如复变函数 $f(z) = \log(z)$，解析，对应的映射是 $(x,y)\rightarrow (\log(x^2+y^2),\arctan(\frac{y}{x}))$，也保角（选项 log）
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-$(x,y)\rightarrow (\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2})$  对应的复变函数是 $f(z)=z/|z|^2=\frac{z}{z\bar{z}}=\frac{1}{|z|}$，可以证明它不解析。然而，它的共轭$\bar{f(z)}=\frac{1}{z}$是解析的，因为导数是 $\frac{d}{dz}(\frac{1}{z}) = -\frac{1}{z^2}$。因此，这是一个反方向的保角映射。（选项 antiholo）
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-$(x,y) \rightarrow (\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2})$对应的复变函数是 $f(z)=\frac{1}{z}$，解析，因此这是一个真的保角映射。（选项 holo）
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+### holo
+$(x,y) \rightarrow (\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2})$对应的复变函数是 $f(z)=\frac{1}{z}$，解析，因此这是一个真的保角映射。
\ No newline at end of file